Margulis 函数的矩与不定三元二次型

在本文中，我们证明了不定三元二次型的 Oppenheim 猜想的定量版本：对于任意不能被有理形式极好逼近的不定无理三元二次型 $Q$，以及 $a<b$，范数至多为 $T$ 且满足 $a<Q(v)<b$ 的整向量个数在 $T$ 趋于无穷时渐近等价于 $\big(\mathsf{C}_Q(b-a)+\mathsf{I}_{Q}(a,b)\big)T$，其中常数 $\mathsf{C}_Q>0$ 仅依赖于 $Q$，而项 $\mathsf{I}_{Q}(a,b)T$ 则计及来自有理迷向直线和退化平面的贡献。主要技术要素是 Margulis $\alpha$-函数沿 $\operatorname{SL}_3(\mathbb{R})/\operatorname{SL}_3(\mathbb{Z})$ 中幂幺轨道扩展平移的 $\lambda$-矩的一致有界性，其中 $\lambda>1$。为建立此结果，我们在格空间上引入了一个新的高度函数 $\widetilde{\alpha}$，它捕捉了经典 Margulis 不等式的失效情况。该矩有界性蕴含了此类平移相对于一类无界检验函数（包括 Siegel 变换）的均匀分布。