$q$ 进制展开中的数字和

令 $s_q(n)$ 表示以 $q$ 为底的数 $n$ 的各位数字之和。我们在此研究比值 $\frac{s_q(n^\alpha)}{s_q(n)}$ 对于不同的 $q$ 和 $\alpha$ 值的情况。1978 年，Kenneth B. Stolarsky 通过显式构造证明了 $\lim\inf_{n\rightarrow\infty}\frac{s_2(n^2)}{s_2(n)}=0$ 且 $\lim\sup_{n\rightarrow\infty}\frac{s_2(n^2)}{s_2(n)}=\infty$。我们表明，对于 $\alpha=2$ 且 $q\geq 2$，上述比值实际上可以是任意正有理数。我们还研究了当 $\alpha$ 为非整数的有理数时会发生什么情况，并使用取整函数终止所得表达式。