两个平方数之和的连续运行的正密度

我们研究算术进展中两个平方数之和的连续和的分布。我们证明，对于任意一个奇数完全平方模数 $q$，任意两个简化同余类 $a_1$ 和 $a_2$ mod $q$，以及任意 $r_1,r_2 \ge 1$，一系列两个平方数之和中，有正密度的和以 $a_1$ mod $q$ 开头，形成 $r_1$ 个连续的两个平方数之和的链，随后紧随其后的是 $r_2$ 个全为 $a_2$ mod $q$ 的连续两个平方数之和的链。这一结果是 Maynard 关于素数序列的论述的类比，展示了对于任意一个简化同余类 $a$ mod $q$ 和任意 $r \ge 1$，一系列素数中，有正密度的素数以 $a$ mod $q$ 开头，形成 $r$ 个全为 $a$ mod $q$ 的连续素数链。