等差-$n$方阵中排列行列的枚举与分布

我们引入等差-$n$方阵的连续变体，其中至少一行或一列形成固定排列 $\{1,\dots,n\}$，具体取为 $(1,\dots,n)$。更一般地，此处所述的枚举与概率论证可推广至任何指定排列作为等差-$n$方阵的行或列的出现情况。我们推导了连续等差-$n$方阵的精确计数公式与渐近公式，明确指出其在 $n\to\infty$ 时占全部等差-$n$方阵比例如何迅速趋于零。我们还分析了在均匀随机抽样下连续等差-$n$方阵的分布，并探讨了与代数结构的联系，将等差-$n$方阵及连续等差-$n$方阵解释为 Cayley 表。最后，我们补充了针对小 $n$ 值的蒙特卡罗模拟结果。