带同余限制的多变量线性同余

在本文中，我们考虑了多变量线性同余系统，并获得了在某些限制条件下解的数量的充分必要条件以及显式表达式。这些结果以 Ramanujan 和表示，并推广了 Lehmer \cite{DNL13} 和 Bibak 等人 \cite{BBVRL17} 的结果。这些结果在 $\mathbb{F}_q[t]$ 上有类似结论，一旦在该设定中定义了 Ramanujan 和 等概念，其证明是类似的。我们使用了 Zhiyong Zheng \cite{ZZ18} 开发的函数域上 Ramanujan 和的最新描述。这在最后一节中进行了讨论。我们通过一些例子说明了所获得的解数量的公式。在整数域上，此类问题有着丰富的历史，其中一些似乎已被遗忘——许多关于该主题的论文重新证明了已知结果。本文作者也是在撰写本文时才注意到其中一些旧文献，因此，我们非常简要地回顾了 H. J. S. Smith、Rademacher、Brauer、Butson 和 Stewart、Ramanathan、McCarthy 以及 Spilker \cite{AB26, BS55, PJM76, HR25, KGR44, HJSS61, JS96} 的一些早期工作。