具有紧性性质的非线性阻尼 Klein-Gordon 方程解的渐近性

我们考虑非线性阻尼 Klein-Gordon 方程 $$\partial_{tt}u+2\alpha\partial_{t}u-\Delta u+u-|u|^{p-1}u=0 \quad \text{on} \ \ [0,\infty)\times \mathbb{R}^N$$ 其中 $\alpha>0$, $2 \le N\le 5$,且能量次临界指数 $p>2$。我们研究这样一些解的行为:假定对大时间渐近地只出现一个非线性对象,至少对一时间序列如此。我们首先证明该非线性对象必为束缚态。接着,我们证明当该非线性对象是非退化态或满足简单性条件的退化激发态时,收敛对所有正时间成立,分别以指数速率或代数速率。最后,我们给出一个解以恰好 $t^{-1}$ 的速率收敛到激发态的例子。