带δ势的阻尼非线性Klein-Gordon方程的长时渐近性

我们考虑带δ势的阻尼非线性Klein-Gordon方程 \begin{align*} \partial_{t}^2u-\partial_{x}^2u+2\alpha \partial_{t}u+u-\gamma {\delta}_0u-|u|^{p-1}u=0, \ & (t,x) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}, \end{align*} 其中$p>2$，$\alpha>0$，$\gamma<2$，$\delta_0=\delta_0 (x)$表示原点处质量为1的Dirac delta。当$\gamma=0$时，Côte、Martel和Yuan证明了任何全局解要么收敛到0，要么收敛到$K\geq 1$个具有交替符号的解耦孤波之和。本文首先证明任何全局解要么收敛到0，要么收敛到$K\geq 1$个解耦孤波之和。其次，当$\gamma<0$时，我们构造了一个远离原点的单孤波解；当$\gamma\leq -2$时，构造了一个偶2-孤波解。最后，我们给出了单孤波解和偶2-孤波解的原点与孤波之间距离的上界。