$\mathbb{F}_q$ 上的超椭圆曲线与 Gaussian 超几何级数

设 $d\geq2$ 为整数。分别用 $E_d$ 和 $E'_{d}$ 表示 $\mathbb{F}_q$ 上由 $$E_d: y^2=x^d+ax+b~~~ \text{和} ~~~E'_d: y^2=x^d+ax^{d-1}+b,$$ 给出的超椭圆曲线。我们明确地用参数阶数为 $d-1$、$d$、$2(d-1)$、$2d$ 和 $2d(d-1)$ 的字符的 ${_{d}}F_{d-1}$ 和 ${_{d-1}}F_{d-2}$ Gaussian 超几何级数的特殊值，找到了 $E_d$ 和 $E'_d$ 上 $\mathbb{F}_q$-点的数量。这解决了 Ken Ono \cite[p. 204]{ono2} 提出的关于 $n > 2$ 时 ${_{n+1}}F_n$ Gaussian 超几何级数特殊值的问题。我们还表明，Lennon \cite{lennon1} 和作者 \cite{BK3} 关于椭圆曲线 Frobenius 迹的结果可由主要结果推导得出。