利用 Huff 椭圆曲线模型计算高斯超几何级数

域 $K$ 上的 Huff 曲线是由方程 $ax(y^2-1)=by(x^2-1)$ 定义的椭圆曲线，其中 $a,b\in K$ 满足 $a^2\ne b^2$。类似地，域 $K$ 上的广义 Huff 曲线由方程 $x(ay^2-1)=y(bx^2-1)$ 描述，其中 $a,b\in K$ 满足 $ab(a-b)\ne 0$。在本注记中，我们用高斯超几何级数 $\displaystyle {_2F_1}(\lambda):={_2F_1}\left(\begin{matrix} \phi&\phi & \epsilon \end{matrix}\Big| \lambda \right)$ 表示这些曲线在奇特征有限域 $\mathbb{F}_q$ 上的有理点个数，其中 $\phi$ 和 $\epsilon$ 分别是 $\mathbb{F}_q$ 上的二次特征与平凡特征。据此，我们用 ${_2F_1}(\lambda)$ 表示椭圆曲线 $y^2=x(x+a)(x+b)$ 在 $\mathbb{F}_q$ 上的有理点个数。这推广了先前已知的 Legendre 曲线、Clausen 曲线和 Edwards 曲线的公式。此外，利用这些表达式我们给出了 ${_2F_1}$ 的几个变换。最后，我们给出了素数域 $\mathbb{F}_p$ 上针对不同 $\lambda$ 的 $_2F_1(\lambda)$ 的精确值，推广了 Greene 和 Ono 的先前结果。