超几何函数与代数曲线 $y^e=x^d+ax+b$

设 $q$ 为素数幂，$\mathbb{F}_q$ 为含 $q$ 个元素的有限域。设 $e$ 和 $d$ 为正整数。本文中，对于 $d\geq2$ 且 $q\equiv1(\mathrm{mod}~ed(d-1))$，我们计算有限域 $\mathbb{F}_q$ 上代数曲线 $E_{e,d}:y^e=x^d+ax+b$ 上的点数，用具有 $d$ 和 $e(d-1)$ 阶乘法特征标的 $_dF_{d-1}$ 高斯超几何级数表示，并用具有 $ed(d-1)$ 和 $e(d-1)$ 阶乘法特征标的 $_{d-1}F_{d-2}$ 高斯超几何级数表示。这有助于我们将有限域 $\mathbb{F}_q$ 上代数曲线 $E_{e,d}$ 的 Frobenius 自同态的迹用上述超几何级数表示。作为应用，我们得到了 $_2F_{1}$ 高斯超几何级数的一些变换和特殊值。