$y^2 + xy - t^d y = x^3$ 上的显式点及相关特征和

设 $\mathbb{F}_q$ 表示特征 $p \geq 5$ 的有限域，并令 $d = q+1$。设 $E_d$ 表示定义在函数域 $\mathbb{F}_{q^2}(t)$ 上由方程 $y^2 + xy - t^d y = x^3$ 给出的椭圆曲线。当 $q \equiv 1 \bmod 3$ 时，其秩为 $q$；当 $q \equiv 2 \bmod 3$ 时，其秩为 $q-2$。我们描述了一种在该椭圆曲线上生成点的显式方法。在 $q \not\equiv 11 \bmod 12$ 的情况下，我们的方法生成的点能产生一个满秩子群。我们在 $E_d$ 上生成有理点的策略利用了从 $\mathbb{F}_{q^2}$ 上的 $d$ 次 Fermat 曲面到与 $E_d$ 关联的椭圆曲面的支配映射。反过来，我们利用某些本身就很有趣的乘法特征和来研究 Fermat 曲面 $\mathcal{F}_d$ 上的直线。特别是，在 $q \equiv 7 \bmod 12$ 的情况下，特征和论证表明我们可以利用单个有理点的 $\mu_d$-平移生成一个满秩子群。