一族一次 del Pezzo 曲面上的点计数

Katharine Woo

一族一次 del Pezzo 曲面上的点计数

数论 2026-04-22 v2

作者: Katharine Woo

摘要

我们研究由以下方程给出的椭圆曲面上的有理点： $y^2 = x^3 + AxQ(u,v)^2 + BQ(u,v)^3,$ 其中 $A,B\in \mathbb{Z}$ 满足 $4A^3-27B^2\neq 0$ ，且 $Q(u,v)$ 是正定二次型。我们证明了有理点中一个特殊子集的渐近性，具体而言是那些关于奇点为整点的子集。该方法利用了椭圆曲线上二次扭曲整点的 Mordell 参数化，该参数化基于二元四次型不变量的合轴。令 $F(A,B)$ 表示在 $\textrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ 作用下不变量为 $-4A$ 和 $-4B$ 的二元四次型集合。我们将点计数问题转化为确定二元二次型和二元四次型表示数相关和的渐近公式问题，其中四次型在 $F(A,B)$ 中取值。随后利用与模形式的联系对这些和进行处理。

关键词

del Pezzo 曲面有理点椭圆曲面 Mordell 参数化模形式

引用

@article{arxiv.2508.09391,
  title  = {Counting points on a family of degree one del Pezzo surfaces},
  author = {Katharine Woo},
  journal= {arXiv preprint arXiv:2508.09391},
  year   = {2026}
}

备注

Revised version; appendix on base change and sums of hecke eigenvalues along polynomials separated to a new paper

一族一次 del Pezzo 曲面上的点计数

摘要

关键词

引用

备注

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