有限域上的对角超曲面与椭圆曲线及超几何函数

设 $D_\lambda^{d,k}$ 表示有限域 $\mathbb{F}_q$ 上由 \begin{align*} D_\lambda^{d,k}:X_1^d+X_2^d=\lambda dX_1^kx_2^{d-k}, \end{align*} 给出的对角超曲面族，其中 $d\geq2$，$1\leq k\leq d-1$，且 $\gcd(d,k)=1$。令 $\#D^{d,k}_\lambda$ 表示 $\mathbb{P}^{1}(\mathbb{F}_q)$ 中 $D_\lambda^{d,k}$ 上的点数。易见 $\#D_\lambda^{d,k}$ 等于多项式 $y^d-d\lambda y^k+1\in \mathbb{F}_q[y]$ 在 $\mathbb{F}_q$ 中不同零点的个数。本文中，我们证明 $\#D^{d,k}_\lambda$ 也等于多项式 $y^{d-k}(1-y)^k-(d\lambda)^{-d}$ 在 $\mathbb{F}_q$ 中不同零点的个数。我们用一个 $p$-进超几何函数表达该多项式在 $\mathbb{F}_q$ 中不同零点的个数。接下来，我们推导出出现在 $\#D^{d,k}_\lambda$ 表达式中的 $p$-进超几何函数的求和恒等式。最后，作为求和恒等式的应用，我们证明了某些椭圆曲线族上 Frobenius 自同态迹的恒等式。