切线如何求解代数方程，或判别式簇的显著几何

令 $\mathcal D_{d,k}$ 表示一次变量中次数为 $d$ 且至少有一个根的重数 $\geq k$ 的多项式的判别式簇。我们证明 $\mathcal D_{d,k}$ 的切锥生成 $\mathcal D_{d,k-1}$，从而揭示了这些簇的极端直纹性质。$\mathcal D_{d,k-1}$ 中 $\mathcal D_{d,k}$ 的仿射切空间之网的 combinatorics 直接与相关多项式的根重数相关联。事实上，求解多项式方程 $P(z) = 0$ 等价于在给定点 $P(z)\in \mathcal D_{d,1} \approx \A^d$ 处寻找与判别式超曲面 $\mathcal D_{d,2}$ 相切的超平面。我们还将由初等对称多项式给出的 Viète 映射 $\mathcal V_d: \A^d_{root} \to \A^d_{coef}$ 的几何与判别式簇 $\{\mathcal D_{d,k}\}$ 的切线联系起来。各种 $d$-划分 $\{\mu\}$ 给出了由 $\mathcal D_{d,k}$ 对 $\A^d_{coef}$ 分层的一个加细 $\{\mathcal D_\mu^\circ\}$。我们的主要结果，定理 7.1，描述了单变量多项式的可除性与对各层 $\{\mathcal D_\mu^\circ\}$ 相切的空间族之间的精细关系。