判别式的一个性质

对于变量 $x$ 的复多项式族 $P:=x^n+a_1x^{n-1}+\cdots +a_n$，我们研究其{\em 判别式} $R:=$Res$(P,P',x)$，$R\in \mathbb{C}[a]$，$a=(a_1,\ldots ,a_n)$。当 $R$ 被视为关于 $a_k$ 的多项式时，可考虑其判别式 $\tilde{D}_k:=$Res$(R,\partial R/\partial a_k,a_k)$。我们证明 $\tilde{D}_k=c_k(a_n)^{d(n,k)}M_k^2T_k^3$，其中 $c_k\in \mathbb{Q}^*$，$d(n,k):=\min (1,n-k)+\max (0,n-k-2)$，多项式 $M_k,T_k\in \mathbb{C}[a^k]$ 具有整数系数，$a^k=(a_1,\ldots ,a_{k-1},a_{k+1},\ldots ,a_n)$，集合 $\{ M_k=0\}$ 和 $\{ T_k=0\}$ 是簇 $\{ R=0\}$ 的层闭包在变量 $a^k$ 空间中的投影，在这些层上 $P$ 分别具有两个二重根或一个三重根。令 $P_k:=P-xP'/(n-k)$（$1\leq k\leq n-1$）且 $P_n:=P'$。有 $T_k=${\rm Res}$(P_k,P_k',x)$（$k\neq n-1$）以及 $T_{n-1}=${\rm Res}$(P_{n-1},P_{n-1}',x)/a_n$。