$p$-进超几何函数的值与 Kummer 线性恒等式的 $p$-进类比

设 $p$ 为奇素数，$\mathbb{F}_p$ 为含 $p$ 个元素的有限域。本文聚焦于 $p$-进背景下一类通用超几何函数值的研究，记为 ${_{3n-1}G_{3n-1}}(p, t)$，其中 $n\geq1$ 且 $t\in\mathbb{F}_p$。这些值用 $\mathbb{F}_p$ 上某些多项式的零点个数表示。这些结果导出了经典超几何恒等式的若干 $p$-进类比。即，我们得到了高斯定理与库默尔定理特例的 $p$-进类比。此外，我们考察了这些函数的零点。例如，若 $n$ 为奇数，则在 $t$ 的一定条件下得到 ${_{3n-1}G_{3n-1}}(p, t)=0$ 的零点。相反，我们证明若 $n$ 为偶数，则对任意素数 $p$ 函数 ${_{3n-1}G_{3n-1}}(p, t)$ 无非平凡零点。