$p$ 进超几何函数的 Sato-Tate 分布

近来 Ono、Saad 与第二作者 \cite{KHN} 开启了对大有限域上某些高斯超几何函数族的值分布的研究。他们研究了两个高斯超几何函数族，并表明它们满足半圆分布与蝙蝠侠分布。受其结果启发，我们旨在研究大有限域上 $p$ 进背景下某些超几何函数族的分布。特别地，我们考虑 $p$ 进背景下的二参数与六参数超几何函数族，并得到其极限分布在大有限域上为半圆分布。在此过程中，我们还将偶数权 $k\geq4$、水平 4 与 8 尖形式空间上 $p$ 阶 Hecke 算子的迹表示为 $p$ 进超几何函数，这具有独立意义。这些结果可视为 \cite{ah, ah-ono, fop} 中某些迹公式的 $p$ 进类比。