亚纯函数族 $f_{\lambda}=\lambda \tan^p z^q$ 的动力学

本文继续研究具有有限个且均为有限奇异值的超越亚纯函数族的动力学。此处我们考虑多项式族 $P_a(z)=z^{d-1}(z- \frac{da}{(d-1)})$ 的一个推广，即函数族 $f_{\lambda}=\lambda \tan^p z^q$。这些函数具有一个超吸引不动点，并且根据 $p$ 的取值，具有一个或两个渐近值。尽管许多动力学性质可以推广，但本质奇点的存在以及重数大于一的极点的存在意味着此处需要显著不同的技巧。在标准方法之外加入超越方法，我们给出了其动力学性质的描述；特别地，我们证明了双曲映射的 Julia 集要么连通且局部连通，要么为 Cantor 集。我们还给出了函数族 $f_{\lambda}$ 的参数平面的描述。同样，它与多项式族 $P_a$ 的参数平面既有相似之处也有不同之处，并且同样出现了新的技巧。特别地，我们证明了双曲分支边界上存在沿曲线可达的稠密点集，并刻画了这些点。