导子的结合代数、李代数与左对称代数

设 $P_n=k[x_1,x_2,\ldots,x_n]$ 为特征为零的域 $k$ 上关于变量 $x_1,x_2,\ldots,x_n$ 的多项式代数，$\mathscr{L}_n$ 为 $P_n$ 的所有导子构成的左对称代数 \cite{Dzhuma99,UU2014-1}。使用 $\mathscr{L}_n$ 的语言，对于每个导子 $D\in \mathscr{L}_n$，我们定义了与 Jacobian 猜想研究相关的结合代数 $A_D$、李代数 $L_D$ 和左对称代数 $\mathscr{L}_D$。对于每个导子 $D\in \mathscr{L}_n$，存在唯一的 $P_n$ 中元素的 $n$ 元组 $F=(f_1,f_2,\ldots,f_n)$ 使得 $D=D_F=f_1\partial_1+f_2\partial_2+\ldots+f_n\partial_n$。在此情况下，利用非交换对称函数的 Hopf 代数 $\mathrm{NSymm}$ 在 $P_n$ 上的作用，我们证明了这些代数与多项式自同态 $X+tF$ 的形式逆的系数描述密切相关，其中 $X=(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ 且 $t$ 为独立参数。我们证明，Jacobian 矩阵 $J(F)$ 是幂零的当且仅当 $D_F$ 在 $\mathscr{L}_n$ 中的所有右幂 $D_F^{[r]}$ 具有零散度。特别地，若 $J(F)$ 是幂零的，则 $D_F$ 是右幂零的。我们讨论了这些代数的一些优点与不足，并提出了一些开放问题。