二重代数

存在一种称为“Leibniz 代数”的非交换李代数概念，其特征是左括积为一个导子。本文的目的是引入并研究一种称为“结合二重代数”的新的代数概念，它之于 Leibniz 代数，犹如结合代数之于李代数。结合二重代数是装备了两个结合运算并满足另外三个条件的向量空间。例如，任意微分结合代数都产生一个二重代数。在本文中，我们为结合二重代数构造并研究了一种（上）同调理论。在链复形构造中令人惊讶的事实是平面二叉树（嫁接与嵌套）组合学的出现。关于该同调理论的主要结果是它在自由结合二重代数上的消没。结合二重代数的 operad 的 Koszul 对偶（在 Ginzburg 与 Kapranov 意义下）是“ dendriform 代数”的 operad。dendriform 代数由两个运算满足三个线性条件刻画。这两个运算之和定义一个新运算，它是结合的。自由 dendriform 代数可用平面二叉树描述。作为推论，我们给出强同伦结合二重代数的显式描述。本文是一项长期项目的一部分，其最终目标是研究代数 K 理论中的周期现象，如“Overview on Leibniz algebras, dialgebras and their homology”（Fields Inst. Commun. 17 (1997), 91--102）中所解释。