$(L^{1},L^{1})$ 双线性 Hardy-Littlewood 函数与 Furstenberg 平均

设 $(X,\mathcal{B}, \mu, T)$ 为非原子有限测度空间上的遍历动力系统。考虑极大函数 $\dis R^*:(f, g) \in L^1\times L^1 \to R^*(f, g)(x) = \sup_{n} \frac{f(T^nx)g(T^{2n}x)}{n}.$ 我们证明存在 $f$ 和 $g$ 使得 $R^*(f, g)(x)$ 几乎处处不为有限值。由此导出两个推论。双线性 Hardy--Littlewood 极大函数对于所有函数对 $(f, g)\in L^1\times L^1$ 并非几乎处处有限。Furstenberg 平均对于所有 $(L^{1},L^{1})$ 函数对不收敛，而根据 J. Bourgain 的结果，对于满足 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}\leq 1$ 的所有 $(L^{p},L^{q})$ 函数对，这些平均是收敛的。