自由群上 $L^1$ 点态与极大遍历定理的失效

设 $F_2$ 表示由两个生成元 $a,b$ 生成的自由群。对于有限测度空间 $X = (X,{\mathcal X},\mu)$ 上的任意保测系统 $(X, {\mathcal X}, \mu, (T_g)_{g \in F_2})$，任意 $f \in L^1(X)$，以及任意 $n \geq 1$，定义平均算子 $${\mathcal A}_n f(x) := \frac{1}{4 \times 3^{n-1}} \sum_{g \in F_2: |g| = n} f( T_g^{-1} x ),$$ 其中 $|g|$ 表示 $g$ 的单词长度。我们给出一个保测系统 $X$ 和一个 $f \in L^1(X)$ 的例子，使得序列 ${\mathcal A}_n f(x)$ 对几乎处处的 $x$ 关于 $n$ 无界，从而表明点态与极大遍历定理在 $L^1$ 中对 $F_2$ 的作用不成立。这与 Nevo-Stein 和 Bufetov 的结果（他们分别建立了 $p>1$ 时的 $L^p$ 和 $L \log L$ 中的点态与极大遍历定理）以及 Naor 和作者建立的关于 $\ell^1(F_2)$ 上作用的弱型 $(1,1)$ 极大不等式估计形成对比。我们的构造是 Ornstein 关于 Markov 算子迭代的反例的一个变体。