广义Koch曲线与Thue-Morse序列

设$(t_n)_{n\ge0}$为著名的$\pm1$ Thue-Morse序列$$+1,-1,-1,+1,-1,+1,+1,-1,\cdots.$$自Coquet和Dekking于1982-1983年的工作起，已知$\sum_{k<n}t_ke^\frac{2k\pi i}{3}$与著名的Koch曲线密切相关。作为自然推广，对整数$m\ge1$，我们用$\sum_{k<n}\delta_ke^\frac{2k\pi i}{m}$定义广义Koch曲线，其中$(\delta_n)_{n\ge0}$为广义Thue-Morse序列，定义为态射$$+1\mapsto+1,+\delta_1,\cdots,+\delta_m$$$$-1\mapsto-1,-\delta_1,\cdots,-\delta_m$$以$\delta_0=+1$且$\delta_1,\cdots,\delta_m\in\{+1,-1\}$开始的唯一不动点，并证明广义Koch曲线是相应迭代函数系统的吸引子。对$m\ge2$、$\delta_0=\cdots=\delta_{\lfloor\frac{m}{4}\rfloor}=+1$、$\delta_{\lfloor\frac{m}{4}\rfloor+1}=\cdots=\delta_{m-\lfloor\frac{m}{4}\rfloor-1}=-1$且$\delta_{m-\lfloor\frac{m}{4}\rfloor}=\cdots=\delta_m=+1$的情形，开集条件成立，从而相应广义Koch曲线具有Hausdorff、填充和盒维数$\log(m+1)/\log|\sum_{k=0}^m\delta_ke^{\frac{2k\pi i}{m}}|$，其中取$m=3$且$\delta_0=+1,\delta_1=\delta_2=-1,\delta_3=+1$即恢复经典Koch曲线的结果。