Kolakoski 序列的均匀性猜想、图连通性与相关性

Kolakoski 序列是取值于 $\{1,2\}$ 且首项为 $1$ 的唯一的无限序列，它等于它自身的游程长度序列，我们称之为 $K(1,2)$。类似地定义 $K(m,n)$。一个著名的猜想是其极限密度为二分之一。我们陈述一个自然的推广，“广义均匀性猜想”(GUC)。GUC 似乎难以处理，但我们证明了一个部分结果。GUC 蕴含某一有向图族 $G_{m,n,k}$ 的所有成员都是强连通的。我们无条件地证明了这一点。对于 $d>0$，令 $cf(m,n,d)$ 为指标 $i$ 使得 $K(m, n)_i=K(m, n)_{i+d}$ 的密度。本质上，$cf(m, n, d)$ 是平稳随机过程 $\{X_t\}_{t\in\mathbb{Z}}$ 的自相关函数，其中该过程有限窗口的样本是通过从“均匀随机指标” $i\in\mathbb{Z}_+$ 开始复制 $K(m,n)$ 的尽可能多连续项而形成的。假设 GUC，我们证明可以通过构造周期约 $10^{8.5}$ 的周期序列 $S$ 来精确计算相当大 $d$ 的 $cf(m,n,d)$，使得对于不太大的 $d$，$K(m,n)$ 中距离 $d$ 的相关频率等于 $S$ 中的相关频率。我们利用通过 FFT 的多项式乘法高效计算 $S$ 中的相关性。我们绘制了对于若干小值 $(m,n)$ 且 $d\le10^5$ 或 $10^6$ 的估计 $cf(m,n,d)$。我们注意到许多暗示的模式。例如，对于三对 $(m,n)\in\{(1,2),(2,3),(3,4)\}$，当我们将 $d$ 限制为 $m+n$ 剩余类 $\text{mod}$ $m+n$ 时，函数 $cf(m,n,d)$ 表现非常不同。三个函数 $cf(1,2,d),cf(2,3,d),$ 和 $cf(3,4,d)$ 的图类似于具有共同节点的波。我们认为这种对于自相关函数非常不寻常的行为。对 $(m,n)\in\{(1,4),(1,6),(2,5)\}$ 显示出具有更多噪声的波状模式。