广义科赫雪花的几何结构

我们考察了一类在平面上（$\mathbb{R}^{2}$）中的分形集合的几何结构，这些集合概括了著名的科赫曲线和科赫雪花。经典科赫曲线通过迭代过程实现：将线段分为三段，将中间段替换为位于线段上方的等腰三角形的两条腿。在更一般的设置中，可在每次迭代时选择将该三角形置于线段的'上方'或'下方'。由此产生的分形与自然中出现的曲线（如海岸线和雪花）呈现出惊人的视觉相似性。虽然这些分形可通过每次翻转硬币以决定三角形方向的随机过程生成，导致其几何性质几乎必有结果，但我们则以确定性方式定义和研究它们，以提供精确结果。特别是，我们使用非整数展开理论表明，这些广义科赫曲线所包围面积的可能值集合是一个闭区间。此外，我们证明了所有这些广义雪花的并集不包含开集，且其二维 Lebesgue 测度为零。补充这些结果，通过微积分和分形几何的论证（即几何级数和 Frostman 引理的性质），我们表明每个广义科赫曲线具有无限长度且与其经典对应项具有相同的 Hausdorff 维数。进一步，我们还给出广义科赫曲线何时为准圆（quasicircle）的分类。