平面上的 Cantor 表面分形与 Koch 雪花的小角散射

本文研究了平面上的 Cantor 表面分形与 Koch 雪花的小角散射（SAS）。我们开发了 Koch 雪花的构造算法，这使得散射振幅的递推关系成为可能。表面分形可以分解为任意分形迭代下的表面质量分形之和，从而能够对散射强度进行各种近似。结果表明，对于 Cantor 分形，可以以良好的精度忽略质量分形振幅之间的相关性，而对于 Koch 雪花，这些相关性则很重要。结果表明，尽管如此，这些相关性可以建立在质量分形振幅中，这解释了散射强度 $I(q)\sim q^{D_{\mathrm{s}}-4}$ 的衰减，其中 $1 < D_{\mathrm{s}} < 2$ 是周长的分形维数。发现曲线 $I(q)q^{4-D_{\mathrm{s}}}$ 在分形区域具有对数周期性，其周期等于分形的标度因子。这种对数周期性源于基本结构单元尺寸的自相似性，而非它们之间距离的相关性。获得了 Koch 雪花回转半径的递推关系，并在无限迭代极限下求解。本分析使我们能够从 SAS 数据中获取额外信息，例如分形区域的边缘、分形迭代次数和标度因子。