基于周期分布傅里叶级数的一种求和法及实例

考虑了一种基于周期分布傅里叶级数的广义求和法。证明了$$e^{it}-2e^{2it}+3e^{3it}-4e^{4it}+-\cdots = {\mathrm P\mathrm f} {\displaystyle \frac{e^{it}}{(1+e^{it})^2}} +i\pi \displaystyle \sum_{n\in \mathbb{Z}} \delta'_{(2n+1)\pi},$$其中${\mathrm P\mathrm f} {\displaystyle \frac{e^{it}}{(1+e^{it})^2}}\in \mathcal{D}'(\mathbb{R})$是由\begin{eqnarray*} \left\langle {\mathrm P\mathrm f} {\displaystyle \frac{e^{it}}{(1+e^{it})^2}} ,\varphi \right\rangle &=& \lim_{\epsilon\searrow 0} \left( \int_{(-\delta,\pi-\epsilon)\cup(\pi+\epsilon,2\pi+\delta)}\frac{\varphi(t) e^{it}}{(1+e^{it})^2}dt -\frac{\varphi(\pi)}{\tan (\epsilon/2)}\right) \end{eqnarray*}$$\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$且支集$\textrm{supp}(\varphi)\subset (-\delta,2\pi+\delta)$，其中$\delta\in (0,\pi)$给出的$2\pi$周期分布。应用该广义求和法，我们确定了发散级数$1+2+3+\cdots$以及更一般地$k\in \mathbb{N}$时$1^k+2^k+3^k+\cdots$的和。