矩形台球谱中的小间隙

我们研究了具有无理平方长宽比 $\alpha$ 的矩形台球上拉普拉斯算子的前 N 个特征值之间的最小间隙的大小，并与泊松序列的相应量进行比较。如果 $\alpha$ 是某种类型的二次无理数，例如有理数的平方根，我们证明最小间隙大致为 1/N 大小，这本质上与泊松统计一致。我们还给出了一组满测度 $\alpha$ 的相关结果。然而，在精细尺度上，我们证明对所有 $\alpha$ 泊松统计都被违反。证明使用了多种算术性质的想法，涉及丢番图逼近、连分数理论以及解析数论中的结果。