预测随机游走最大值的一般“bang-bang”原理

设$(B_t)_{0\leq t\leq T}$为带漂移的伯努利随机游走或布朗运动，并设$M_t:=\max\{B_s: 0\leq s\leq t\}$，$0\leq t\leq T$。本文解决了一般最优预测问题$\sup_{0\leq\tau\leq T}\sE[f(M_T-B_\tau)]$，其中上确界取遍所有适应于$(B_t)$自然滤过的停时$\tau$，且$f$是非增凸函数。最优停时$\tau^*$被证明是“bang-bang”型的：如果基础过程$(B_t)$的漂移为负，则$\tau^*\equiv 0$；如果漂移为正，则$\tau^*\equiv T$。该结果推广了S. Yam、S. Yung和W. Zhou [{\em J. Appl. Probab.} {\bf 46} (2009), 651--668]以及J. Du Toit和G. Peskir [{\em Ann. Appl. Probab.} {\bf 19} (2009), 983--1014]的最新发现，并为金融学中“应立刻卖出坏股票，但尽可能持有好股票”的格言提供了额外的数学依据。