预测带漂移布朗运动的最后一个零点

给定一个漂移为 $\mu \in IR$ 的标准布朗运动 $B^{\mu}=(B_t^{\mu})_{0\le t\le T}$，令 $g$ 表示 $B^{\mu}$ 在 $T$ 之前的最后一个零点，我们考虑最优预测问题 $V_*=\inf_{0\le \tau \le T}\mathsf {E}\:|\:g-\tau |$，其中下确界取遍 $B^{\mu}$ 的所有停时 $\tau$。通过将最优预测问题归约为抛物型自由边界问题，并利用局部时 - 空间微积分技术，我们证明了以下停时是最优的：$\tau_*=\inf \{t\in [0,T] | B_t^{\mu} \le b_-(t) \text{ 或 } B_t^{\mu} \ge b_+(t)\}$，其中函数 $t\mapsto b_-(t)$ 在 $[0,T]$ 上连续且递增，满足 $b_-(T)=0$，函数 $t\mapsto b_+(t)$ 在 $[0,T]$ 上连续且递减，满足 $b_+(T)=0$，且数对 $b_-$ 和 $b_+$ 可刻画为非线性 Volterra 积分方程耦合系统的唯一解。这也给出了用 $b_-$ 和 $b_+$ 表示的 $V_*$ 的显式公式。若 $\mu=0$，则 $b_-=-b_+$，且如文献 [10] 利用文献 [4] 中的时间变换方法所示，$b_{\pm}$ 存在闭式表达式。后一种方法无法推广至 $\mu \ne 0$ 的情形，而本文采用不同方法解决了剩余情形。