布朗运动无偏平移的最优嵌入

双侧布朗运动$(B_t \colon t\in{\mathbb R})$的一个无偏平移是一个随机时间$T$，使得$(B_{T+t} \colon t\in{\mathbb R})$仍是一个双侧布朗运动。给定一对正交概率测度$\mu, \nu$，若$B_0\sim\mu$蕴含$B_{T}\sim\nu$，则无偏平移$T$解决了嵌入问题。Last等人(2014)基于Bertoin和Le Jan(1992)以及Holroyd和Liggett(2001)的早期工作，给出了该问题的一个解。在本注记中，我们证明该解在所有非负无偏解$T$上最小化${\mathbb E} \psi(T)$，且对所有非负凹函数$\psi$同时成立。我们的证明基于一个可能具有独立兴趣的离散凹性不等式。