最优 Skorokhod 嵌入问题的精细性质

我们研究在给定分布 $\nu$ 处停止布朗运动，同时优化依赖于（可能随机化的）停时与布朗运动的奖励函数的问题。我们的第一个结果确立了嵌入 $\nu$ 的停时集合 $\mathcal{T}(\nu)$ 在随机化嵌入集合 $\mathcal{R}(\nu)$ 中弱稠密。特别地，当奖励函数半连续时，在 $\mathcal{T}(\nu)$ 上的最优 Skorokhod 嵌入问题与其在 $\mathcal{R}(\nu)$ 上松弛问题具有相同的值，这平行于最优传输中关于 Monge 映射与 Kantorovich 耦合的一个基本结果。第二部分研究线性规划意义下的对偶优化。尽管先前表述中不存在对偶解，我们引入了对偶问题的一种松弛，它利用一种新颖的紧性性质，并给出解的存在性以及无对偶间隙，即便对于不规则奖励函数亦如此。这导出一个单调性原理，补充了 Beiglböck、Cox 与 Huesmann [Optimal transport and Skorokhod embedding, Invent. Math., 208:327-400, 2017] 的关键定理。我们表明这些结果可应用于通过变分条件刻画最优嵌入的几何结构。