预测上确界：“立即停止或永不停止”的最优性

设 $X_t$，$0 \le t \le T$ 为具有独立平稳增量的一维随机过程。本文考虑将过程 $X_t$ “尽可能近”地停止于其最终上确界 $M_T:=\sup\{X_t: 0 \le t \le T\}$ 的问题，其中在停止时间 $\tau \le T$ 停止的奖励是 $M_T-X_\tau$ 的非递增凸函数。在对过程 $X_t$ 相当一般的条件下，证明了最优停止时间 $\tau$ 具有“bang-bang”形式：要么在时间 0 停止最优，要么在时间 T 停止最优。对于随机游走的情形，若游走的步长随机占优其相反数，则规则 $\tau=T$ 是最优的；若相反的关系成立，则规则 $\tau=0$ 是最优的。对于具有有限 Lévy 测度的 Lévy 过程 $X_t$，在假设 $X_t$ 的跳跃满足上述条件且 $X_t$ 的漂移与平均跳跃具有相同符号的情况下，证明了类似的结果。最后，给出了该结果可推广至非有限 Lévy 测度情形的条件。