布朗运动极大值的某些泛函及其应用

我们考虑一个布朗运动（BM）$x(\tau)$ 及其在固定时间区间 $[0,t]$ 上的极大值 $x_{\max} = \max_{0 \leq \tau \leq t} x(\tau)$。我们研究布朗运动极大值的形如 ${\cal O}_{\max}(t)=\int_0^t\, V(x_{\max} - x(\tau)) {\rm d} \tau$ 的泛函，其中 $V(x)$ 可以是任意函数，并开发了多种解析工具来计算其统计性质。这些工具尤其依赖于 (i) 一种“路径计数”方法和 (ii) 一种路径积分方法。我们特别关注 $V(x) = \delta(x-r)$ 的情形，其中 $r$ 为实参数，这与研究布朗运动近极值密度（即所谓的态密度）$\rho(r,t)$ 相关，该密度是布朗运动在距极大值给定距离 $r$ 处花费的局部时。我们还对泛函族 ${T}_{\alpha}(t)=\int_0^t (x_{\max} - x(\tau))^\alpha \, {\rm d}\tau$ 进行了详尽分析，该族对应于 $V(x) = x^\alpha$，其中 $\alpha$ 为实数。随着 $\alpha$ 变化，$T_\alpha(t)$ 在不同有趣的可观测量之间进行插值。例如，当 $\alpha =1$ 时，$T_{\alpha = 1}(t)$ 是一个“面积”或“Airy”型随机变量，而当 $\alpha=-1/2$ 时，它对应于弹道粒子在布朗随机势中花费的极大时间。另一方面，当 $\alpha = -1$ 时，它对应于 Odlyzko 提出的寻找离散随机游走极大值的最优算法的代价。我们在此利用理论物理工具重新审视了该算法的统计性质，此前该算法已用概率方法研究过。最后，我们将我们的方法推广到受约束的布朗运动，特别包括布朗桥，即起点和终点都在原点的布朗运动。