布朗运动的近极值统计

我们研究了时间区间 [0,t] 上布朗运动 (BM) 的近极值事件统计。我们关注最大值附近的态密度 (DOS) $\rho(r,t)$，即过程在距离最大值 $r$ 处所花费的时间量。我们开发了一种路径积分方法来研究布朗运动最大值的功能泛函，这使得我们能够研究 $\rho(r,t)$ 的全概率密度函数 (PDF)，并获得任意整数 $k$ 的矩 $\langle [\rho(r,t)]^k \rangle$ 的显式表达式。我们还研究了受约束布朗运动（如布朗桥）的近极值。最后，我们展示了数值模拟以验证我们的解析结果。