分数布朗运动桥的极值统计

分数布朗运动是布朗运动的一种自仿射、非马尔可夫且平移不变的推广，依赖于 Hurst 指数 $H$。这里我们研究起点和终点均为零的分数布朗运动，通常称为桥过程。观测量包括过程为正的时间 $t_+$、达到的最大值 $m$ 以及达到该最大值的时间 $t_{\rm max}$。利用围绕布朗运动 ($H=\frac12$) 的微扰展开，我们给出了这三个变量概率分布以及 $m$ 和 $t_{\rm max}$ 联合分布的一阶结果。我们的解析结果经过广泛的数值模拟检验，对于 $H>\frac12$ 和 $H<\frac12$ 均表现出极好的一致性。这种精度是通过对具有自由端点的过程进行采样，然后将每个实现转换为桥过程来实现的，这是对通常用于布朗运动做法的推广。