分数布朗运动的泛函与三反正弦律

分数布朗运动是一种由 Hurst 指数 $H\in [0,1]$ 索引的非马尔可夫高斯过程,它将标准布朗运动推广以解释反常扩散。该过程的泛函作为非平衡动力学的一个标准参考点,对实际应用十分重要。我们描述了一种微扰展开,使我们能够解析地求取许多非平凡可观测量:我们将著名的标准布朗运动三反正弦律进行了推广。这些泛函为:(i) 过程保持为正的时间占比,(ii) 过程最后一次访问原点的时刻,以及 (iii) 它达到最大值(或最小值)的时刻。我们推导了这三个泛函概率关于 $\epsilon = H-\tfrac{1}{2}$ 直至二阶的展开表达式。我们发现这三个概率互不相同,除了 $H=\tfrac{1}{2}$ 时它们重合。我们的结果通过数值模拟得到了高精度验证。