存在测量误差与噪声时随机游走的破纪录统计

我们探讨了在存在测量误差 $\delta$ 和加性噪声 $\gamma$ 的情况下，随机游走者打破距离纪录的问题，并表明对于所有跳跃分布（包括 L\'evy 飞行）以及所有的 $\delta$ 和 $\gamma$，直到 $n$ 步的（上）纪录平均数量 $< R_n>$ 在大 $n$ 时仍普遍以 $< R_n> \sim n^{1/2}$ 增长。与 $1/2$ 的普遍增长指数不同，由 $n^{1/2}$ 的前置因子衡量的破纪录速率取决于 $\delta$ 和 $\gamma$。在无噪声 ($\gamma=0$) 的情况下，针对任意跳跃分布显式计算了前置因子 $S(\delta)$，且其随 $\delta$ 的增加而单调递减；而在完美测量 ($\delta=0$) 的情况下，相应的前置因子 $T(\gamma)$ 随 $\gamma$ 增加而增加。我们的解析结果得到了广泛数值模拟的支持，并在二维和三维中发现了定性相似的结果。