关于群上随机游走的速度与熵的联合行为

对于满足 $\delta\leq \beta < \frac{1+\delta}{2}$ 的任意 $3/4\le \delta, \beta< 1$，我们构造了一个有限生成群 $\Gamma$ 及其上的一个（对称、有限支撑的）随机游走 $X_n$，使得其与起点的期望距离满足 $E|X_n|\asymp n^{\beta}$，且其熵满足 $H(X_n)\asymp n^\delta$。事实上，只要两个足够好的给定函数 $f,h$ 满足关系 $n^{\frac{3}{4}}\leq h(n)\leq f(n)\leq \sqrt{{nh(n)}/{\log (n+1)}}\leq n^\gamma$（对于某个 $\gamma<1$），其速度和熵就可以被精确设定为在常数因子范围内等于这两个函数。