离散群的嵌入与随机游走的速度

对于有限生成群 $G$ 和 Banach 空间 $X$，令 $\alpha^*_X(G)$（分别为 $\alpha^\#_X(G)$）为所有 $\alpha\ge 0$ 的上确界，使得存在 Lipschitz 映射（分别为等变映射）$f:G\to X$ 和 $c>0$，满足对所有 $x,y\in G$ 有 $\|f(x)-f(y)\|\ge c\cdot d_G(x,y)^\alpha$。特别地，$G$ 的 Hilbert 压缩指数（分别为等变 Hilbert 压缩指数）为 $\alpha^*(G)=\alpha^*_{L_2}(G)$（分别为 $\alpha^\#(G)= \alpha_{L_2}^\#(G)$）。我们证明，如果 $X$ 具有 $p$ 型光滑模，则 $\alpha^\#_X(G)\le \frac{1}{p\beta^*(G)}$。此处 $\beta^*(G)$ 是最大的 $\beta\ge 0$，使得存在 $G$ 的生成元集 $S$ 和 $c>0$，满足对所有 $t\in \mathbb{N}$ 有 $\mathbb{E}\big[d_G(W_t,e)\big]\ge ct^\beta$，其中 $\{W_t\}_{t=0}^\infty$ 是由 $S$ 确定的 $G$ 的 Cayley 图上从单位元开始的规范简单随机游走。当 $X=L_p$ 时，此结果是尖锐的，推广了 Guentner 和 Kaminker 的定理，并回答了 Tessera 提出的问题。我们还证明，如果 $\alpha^*(G)\ge 1/2$，则 $\alpha^*(G\wr \mathbb{Z})\ge \frac{2\alpha^*(G)}{2\alpha^*(G)+1}$。这改进了 Stalder 和 Valette 之前的界限。我们推断，若记 $\mathbb{Z}_{(1)}= \mathbb{Z}$ 且 $\mathbb{Z}_{(k+1)}\coloneqq \mathbb{Z}_{(k)}\wr \mathbb{Z}$，则 $\alpha^*(\mathbb{Z}_{(k)})=\frac{1}{2-2^{1-k}}$，并利用此结果回答了 Tessera 关于 Hilbert 压缩指数与 $G$ 中球的等周剖面之间关系的问题。我们还证明了循环点灯群 $C_2\wr C_n$ 以一致有界畸变嵌入到 $L_1$ 中，回答了 Lee、Naor 和 Peres 提出的问题。最后，我们利用这些结果表明边 Markov 型不必蕴含 Enflo 型。