Liouville 性质与 Hilbert 压缩

利用随机游动获得了等变 Hilbert 压缩指数 $\alpha$ 的下界。更确切地说，如果在 Cayley 图中简单随机游动的返回概率 $\succeq \textrm{exp}(-n^\gamma)$，则 $\alpha \geq (1-\gamma)/(1+\gamma)$。这激发了对返回概率、速度、熵和体积增长之间进一步关系的研究。例如，如果 $|B_n| \preceq e^{n^\nu}$，则速度 $\preceq n^{1/(2-\nu)}$。在热核非对角衰减的强假设下，压缩的下界改进为 $\alpha \geq 1-\gamma$。利用 Naor 和 Peres 关于压缩与随机游动速度的结果，这得出了非常有希望的速度界限，并且如果 $\gamma <1/2$，则意味着 Liouville 性质。