极大游走熵蕴含游走正则性

图 $G$ 在逆温度 $\beta$ 下的游走熵 $S^V(G,\beta)$ 的概念最近由 Estrada 等人 (2014) \cite{6} 提出。Benzi \cite{1} 进一步证明，一个图是游走正则的当且仅当其游走熵对所有温度 $\beta \in I$ 均为最大，其中 $I$ 是一个至少包含一个聚点的实数集合。Benzi \cite{1} 猜想游走正则性可以通过游走熵来刻画，当且仅当存在一个 $\beta>0$ 使得 $S^V(G,\beta)$ 为最大。这里我们证明，一个图是游走正则的当且仅当 $S^V(G,\beta=1)=\ln n$。我们还证明，如果图是正则的但不是游走正则的，则对于每个 $\beta >0$ 都有 $S^V(G,\beta)<\ln n$，且 $\lim_{\beta \to 0} S^V(G,\beta)=\ln n=\lim_{\beta \to \infty} S^V(G,\beta)$。如果图不是正则的，则对于每个 $\beta>0$，存在某个 $\epsilon>0$ 使得 $S^V(G,\beta) \leq \ln n-\epsilon$。