关于路与圈的免重复染色

我们说整数序列 $a_1 \cdots a_{2t}$ 是重复的,如果对每个 $i\in\{1,\ldots,t\}$ 都有 $a_i = a_{i+t}$。图 $G$ 中的一条途径是一个顶点序列 $v_1 \cdots v_r$,其中对每个 $i\in\{1,\ldots,r-1\}$ 都有 $v_iv_{i+1}\in E(G)$。给定 $V(G)$ 的一个 $k$-染色 $c\colon V(G)\to\{1,\ldots,k\}$,我们说 $c$ 是途径-免重复的(相应地,散步-免重复的),如果对每个 $t\in\mathbb{N}$ 和每条途径 $v_1\cdots v_{2t}$,序列 $c(v_1) \cdots c(v_{2t})$ 不是重复的,除非对每个 $i\in\{1,\ldots,t\}$ 都有 $v_i = v_{i+t}$(相应地,除非对某个 $i\in\{1,\ldots,t\}$ 有 $v_i = v_{i+t}$)。$G$ 的途径(相应地,散步)色数 $\sigma(G)$(相应地,$\rho(G)$)是使得 $G$ 具有途径-免重复(相应地,散步-免重复)$k$-染色的最小 $k$。令 $C_n$ 和 $P_n$ 分别表示具有 $n$ 个顶点的圈和路。本文给出三个结果,回答了 Barát 和 Wood 在 2008 年提出的问题:(i) 当 $n\geq 4$ 且 $n \notin\{5,7\}$ 时,$\sigma(C_n) = 4$;(ii) 若 $3\leq n\leq 21$ 则 $\rho(P_n) = 3$,否则 $\rho(P_n) = 4$;(iii) 当 $n \notin\{3,4,6,8\}$ 时 $\rho(C_n) = 4$,否则 $\rho(C_n) = 3$。特别地,(ii) 改进了 Tao 在 2023 年得到的关于 $n$ 的界。