网格的非重复染色

对于图 $G$，若对所有 $k\in\mathbb N$ 及 $G$ 中所有 $P_{2k}=\langle v_1, \cdots, v_k,v_{k+1}, \cdots, v_{2k}\rangle$（$2k$ 个顶点的路），均存在某个 $1\le i\le k$ 使得 $f(v_i)\not=f(v_{k+i})$，则称顶点染色 $f$ 为非重复的。用 $\pi(G)$ 表示 $G$ 进行非重复染色所需的最少颜色数。1906 年，Thue 证明了对于所有 $n$ 有 $\pi(P_n)\le3$。本文关注网格，即路的笛卡尔积。我们证明了对于充分大的 $n$ 有 $5\le\pi(P_n\square P_n)\le12$，此前最好的下界为 4、上界为 16。此外，我们还讨论了完全图的笛卡尔积的非重复染色。