有限生成群上熵的性态

本文展示了有限生成群上随机游走熵函数的多种性态,证明了对于任意 $\frac{1}{2}\leq \alpha\leq\beta\leq1$,存在一个群 $\Gamma$ 以及在有限生成集上均匀分布的测度 $\mu$,使得 $$\liminf\frac{\log H_{\Gamma ,\mu}(n)}{\log n}=\alpha ,\qquad \limsup \frac{\log H_{\Gamma ,\mu}(n)}{\log n}=\beta .$$ 所涉及的群是扩展根树自同构群中的有限生成子群。本文还评估了此类群上简单随机游走 $Y_n$ 的返回概率与漂移,给出了一个满足 $$\liminf\frac{{\log}|{\log P}(Y_n=_{\Gamma}1)|}{\log n}=\frac{1}{3},\qquad \limsup\frac{{\log}|{\log P}(Y_n=_{\Gamma}1)|}{\log n}=1$$ 的返回概率,以及满足 $$\liminf\frac{\log {\mathbb{E}}\|Y_n\|}{\log n}=\frac{1}{2},\qquad \limsup\frac{\log {\mathbb{E}}\|Y_n\|}{\log n}=1$$ 的漂移的群示例。