随机游动 Green 函数的增长与 Poincar{\'e} 级数

给定有限生成群 $\Gamma$ 上的概率测度 $\mu$，Green 函数 $G(x,y|r)$ 编码了与 $\mu$ 相关的随机游动的诸多性质。当 $y$ 趋于无穷时求 $G(x,y|r)$ 的渐近行为是概率论中的一条共同主线，文献中通常称为更新理论。赋予 $\Gamma$ 一个字距离，记 $H_r(n)$ 为沿半径为 $n$ 的球面上 Green 函数 $G(e,x|r)$ 之和。该量在研究 $\Gamma$ 上由 $\mu$ 驱动的branch随机游动渐近性质时自然出现，且 $H_r(n)$ 当 $n$ 趋于无穷时的行为与更新理论密切相关。本文的动机在于构造 $H_r(n)$ 多种特殊行为的例子。首先，我们的主要结果给出了一类具有由 $H_r(n)$ 生成的收敛 Poincar{\'e} 级数的相对双曲群，回答了作者前文提出的若干问题。在此过程中，我们考察了若干有限生成群类（包括阿贝尔群、某些幂零群、点灯者群以及自由群的笛卡尔积）上 $H_r(n)$ 的行为。