大胆随机游走的渐近性质

在我们最近的一篇论文中，我们提出了一种非马尔可夫随机游走模型，其记忆内容为从起点（家）曾到达的最大距离。只有当行者处于该最大距离时，其行为才与简单对称随机游走 (SSRW) 不同；此时，行者面临选择是走得更远还是更近，并以不同的概率做出决定。如果向前一步的概率高于向后一步的概率，则行者是“大胆”的，其行为表现为超扩散；否则她是“胆怯”的，其行为表现为次扩散。标度行为根据单一参数 $\gamma \in R$ 从次扩散（胆怯）连续变化到超扩散（大胆）。本文研究了非弹道区域 $\gamma \in [0,1/2]$ 中大胆情形的渐近性质，这一问题在 \cite{S} 中尚未完全解决。本文证明的精确结果需要新的概率论工具，这些工具依赖于构建适当的随机游走鞅及其命中时间。