带屏障的凸体对数凹分布抽样：一种稳健统一的 Dikin 步

我们考虑从$d$维对数凹分布$\pi(\theta) \propto \exp(-f(\theta))$进行抽样，其中$f$为$L$ Lipschitz 函数，受约束于包含半径为$R$的球体内、带可计算自圆锋函数屏障的凸体，并以$w$ -warm start。我们提出一种稳健的抽样框架，在每个迭代中计算屏障函数Hessian的谱近似。我们证明，对于由$n$个超平面描述的多面体，使用 Lee-Sidford 屏障函数进行抽样，在$\widetilde O((d^2+dL^2R^2)\log(w/\delta))$步内混合，单步计算复杂度为$\widetilde O(nd^{\omega-1})$，其中$\omega\approx 2.37$为快速矩阵乘法指数。与Mangoubi和Vishnoi的 prior work 相比，我们的方法混合时间更快，可设计一种超越对数屏障的通用软阈值 Dikin 步。我们进一步将结果推广至$d$维谱单体（spectrahedron），即半正定规划受限集$\{x\in \mathbb{R}^d: \sum_{i=1}^d x_i A_i \succeq C \}$，其中$A_1,\ldots,A_d, C$为$n\times n$实对称矩阵。我们设计的步在$\widetilde O((nd+dL^2R^2)\log(w/\delta))$步内混合，单迭代复杂度为$\widetilde O(n^\omega+n^2d^{3\omega-5})$。我们改进了Narayanan和Rakhlin的 prior work，即其混合于$\widetilde O((n^2d^3+n^2dL^2R^2)\log(w/\delta))$步的最佳 Dikin 步。