关于图的代数连通度及其补图的一个猜想的证明

对图 $G$，令 $\lambda_2(G)$ 表示其第二小拉普拉斯特征值。曾有猜想认为 $\lambda_2(G) + \lambda_2(\overline{G}) \geq 1$，其中 $\bar{G}$ 为 $G$ 的补图。在此，我们证明该猜想在一般情形下成立。此外，我们将证明 $\max\{\lambda_2(G), \lambda_2(\overline{G})\} \geq 1 - O(n^{-\frac 13})$，其中 $n$ 为 $G$ 的顶点数。