关于代数连通性的 $l_\infty$ 类似

图 $G$ 的代数连通性 $a(G)$ 定义为其 Laplace 矩阵 $L(G)$ 的第二小特征值。它也具有变分刻画，即在 $l_2$ 范数约束下 $L(G)$ 关联二次型的最小值。2024 年，Andrade 和 Dahl 研究了一个类似参数 $\gamma(G)$，其定义使用 $l_\infty$ 范数代替 $l_2$ 范数。他们证明了 $\gamma(G)$ 可通过线性规划在多项式时间内计算。本文研究了 $\gamma(G)$ 的组合意义，揭示了它可通过广度优先搜索（BFS）算法高效计算。我们证明 $\gamma(G)$ 刻画了图 $G$ 的连通性。我们进一步建立了 $\gamma(G)$ 的新界，并分析了取到极值的图。最后，当 $G$ 为有限多个图的笛卡尔积时，我们推导了 $\gamma(G)$ 的一个优美公式。应用该公式，我们显式计算了包括超立方体图、Hamming 图等在内的若干图族的 $\gamma(G)$。